Question

A、B是抛物线y²=2px(p＞0)上的两点,满足OA⊥OB(O为坐标原点).

求证:(1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值.

(2)直线AB经过一个定点.

Answer 1

证明:(1)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则y₁²=2px₁,y₂²=2px₂.

∵OA⊥OB,∴x₁x₂+y₁y₂=0.

y₁²y₂²=4p²x₁x₂=4p²·(-y₁y₂).

∴y₁y₂=-4p²,从而x₁x₂=4p²也为定值.

(2)∵y₁²-y₂²=2p(x₁-x₂),∴.

∴直线AB的方程为y-y₁=(x-x₁),

即y=x·+y₁,

y=x+,亦即y=(x-2p).

∴直线AB经过定点(2p,0).