Question

（本小题满分16分）如图，平面直角坐标系中，和为等腰直角三角形，,设和的外接圆圆心分别为.

（Ⅰ）若圆M与直线相切，求直线的方程；
（Ⅱ）若直线截圆N所得弦长为4，求圆N的标准方程；
（Ⅲ）是否存在这样的圆N，使得圆N上有且只有三个点到直线的距离为，若存在，求此时圆N的标准方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）圆心，所以圆的方程为，
直线的方程为.
圆与直线相切，圆心到直线的距离，
化简得：.
直线的方程为.  ·······························5分
（2）直线方程为：，圆心，
圆心到直线的距离为.
直线截圆的弦长为4， （负值舍去）
所以圆的标准方程为.····················10分
（3）存在。
由（2）知，圆心到直线的距离为（定值），且始终成立，
当且仅当圆半径即时，
圆上有且只有三个点到直线的距离为.
此时，圆的标准方程为························16分

略