题目内容

如图，已知直线 $数学公式$ 与抛物线 $数学公式$ 和圆 $数学公式$ 都相切，F是C₁的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上．

（1）解：由已知，圆 $\text{[math]}$ 的圆心（0，-1），
圆心到直线l₁：y=2x+m的距离 $\text{[math]}$ ，解得m=-6（m=4舍去），…（3分）
设l₁与抛物线的相切点为A₀（x₀，y₀），得2ax₀=2，∴ $\text{[math]}$ ，
代入直线方程得： $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
所以m=-6， $\text{[math]}$ …（6分）
（2）证明：由（1）知抛物线C₁方程为 $\text{[math]}$ ，焦点 $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ ，由（1）知以A为切线l的方程为 $\text{[math]}$ ，…（8分）
令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为（0， $\text{[math]}$ ），
所以 $\text{[math]}$ =（x₁， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（0，- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），…（10分）
∵四边形FAMB是以FA，FB为邻边的平行四边形，
∴ $\text{[math]}$ =（x₁，-3）…（13分）
因为F是定点 $\text{[math]}$ ，所以点M在定直线 $\text{[math]}$ 上． …（15分）
分析：（1）利用直线与圆相切，可得圆心到直线l₁：y=2x+m的距离等于半径，从而可求m的值；设l₁与抛物线的相切点为A₀（x₀，y₀），求得切点坐标，代入直线方程，即可求得a的值；
（2）设 $\text{[math]}$ ，由（1）知以A为切线l的方程为 $\text{[math]}$ ，从而可得切线l交y轴的B点坐标，利用四边形FAMB是以FA，FB为邻边的平行四边形，可得 $\text{[math]}$ ，由此可证结论．
点评：本题考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定切线方程，属于中档题．