Question

函数f（x）=-x³+3x²，设g（x）=6lnx-f′（x）（其中f′（x）为f（x）的导函数），若曲线y=g（x）在不同两点A（x₁，g（x₁））、B（x₂，g（x₂））处的切线互相平行，且

g(x1)+g(x2)

x1+x2

≥m恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析：根据曲线y=g（x）在不同两点A（x₁，g（x₁））、B（x₂，g（x₂））处的切线互相平行得到有g′（x₁）=g′（x₂）且x₁≠x₂，可求出x₁x₂的值，然后利用函数的单调性研究

g(x1)+g(x2)

x1+x2

的最小值，从而可求出m的取值范围，求出所求．

解答：解：∵f′（x）=-3x²+6x，∴g（x）=6lnx-f′（x）=6lnx+3x²-6x
∴g′（x）=

6

x

+6x-6
依题意有g′（x₁）=g′（x₂）且x₁≠x₂，
即

6

x1

+6x₁-6=

6

x2

+6x₂-6
∴x₁x₂=1
∴

g(x1)+g(x2)

x1+x2

=

6ln(x1x2)+3 (x 2 1 +x 2 2 )-6(x1+x2)

x1+x2

=

3 (x   1 +x   2 )2-6(x1+x2)-6

x1+x2

=3（x₁+x₂）-

6

x1+x2

-6
令x₁+x₂=t，则t＞2，∵φ（t）=3t-

6

t

-6在（2，+∞）上单调递增
∴φ（t）＞φ（2）=-3
∴

g(x1)+g(x2)

x1+x2

＞-3
∴m≤-3
∴实数m的最大值为-3．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及利用函数的单调性求函数的最值，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．