Question

设函数f（x）=msinx+3cosx（m∈R），若函数f（x）的图象与直线y=n（n为常数）相邻两个交点的横坐标为x1=

π

12

，x2=

7π

12

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=3，a=2，求△ABC周长l的范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）的图象与直线y=n（n为常数）相邻两个交点的横坐标为x1=

π

12

，x2=

7π

12

，建立方程，即可求得m的值，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）先确定A的值，再利用余弦定理、基本不等式，即可求△ABC周长l的范围．

解答：解：（1）根据题意得：msin

π

12

+3cos

π

12

=msin

7π

12

+3cos

7π

12

=n，
变形得：m=

3(cos 7π 12 -cos π 12 )

sin π 12 -sin 7π 12

=

-6sin π 3 sin π 4

-2cos π 3 sin π 4

=3

3

∴f（x）=3

3

sinx+3cosx；
（2）f（x）=3

3

sinx+3cosx=6sin（x+

π

6

）
∵f（A）=3，∴6sin（A-

π

6

）=3，∵A∈（0，π），∴A=

π

3

∵a=2，∴4=b²+c²-2bccos

π

3

=b²+c²+bc=（b+c）²-bc
∵b+c≥2

bc

，∴0＜bc≤

(b+c)2

4

∴

3(b+c)2

4

≤（b+c）²-bc＜（b+c）²，
∴

3(b+c)2

4

≤4＜（b+c）²，∴2＜b+c≤

4 3

3

∴4＜a+b+c≤2+

4 3

3

∴4＜l≤2+

4 3

3

点评：本题考查三角函数的化简，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．