Question

定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x₁，x₂∈[0，＋∞)(x₁≠x₂)，有<0，则(　　)

A．f(3)<f(－2)<f(1)                 B．f(1)<f(－2)<f(3)

C．f(－2)<f(1)<f(3)                 D．f(3)<f(1)<f(－2)

Answer 1

解：(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)．

∴f(1)＝0.

令x＝y＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)．

∴f(－1)＝0.

(2)令y＝－1，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得

f(－x)＝f(x)＋f(－1)．

又f(－1)＝0，∴f(－x)＝f(x)，

又f(x)不恒为0，∴f(x)为偶函数．

(3)由f(x＋1)－f(2－x)≤0，知f(x＋1)≤f(2－x)．

又由(2)知f(x)＝f(|x|)，

∴f(|x＋1|)≤f(|2－x|)．

又∵f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴|x＋1|≤|2－x|.

故x的取值集合为.