Question

（本小题满分14分）

已知圆心在轴上的圆过点和.

（1）求圆的方程；

（2）求过点且与圆相切的直线方程；

（3）已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动，求线段的中点N的轨迹.

Answer 1

（1） （2）或.

（3）点N的轨迹是以（，）为圆心，半径为1的圆.

【解析】

试题分析：第一问先通过圆心在弦的中垂线上，从而得出圆心的位置，确定出圆的半径，从而得出圆的方程，第二问涉及到圆的切线方程的求解问题，把握住圆心到直线的距离为半径可得，对于第三问，把握住动点的轨迹方程的求法即可得结果.

试题解析：（1）线段AB的中点坐标为，斜率为 （1分）

所以线段AB的垂直平分线方程为，即为. （2分）

令，得，即圆心为. （3分）

由两点间的距离公式，得. （4分）

∴适合题意的圆的方程为. （5分）

或：设圆心为，由得 （2分）

解得a=2，所以圆心为. （3分）

又半径. （4分）

所以适合题意的圆的方程为. （5分）

（2）由（1）知圆的圆心坐标为，半径

（i）当过点且与圆相切的直线的斜率不存在时，其切线方程为.（6分）

（ii）当过点且与圆相切的直线的斜率存在时，

设为，则切线方程为. （7分）

由圆心到切线的距离等于半径，得，解得 （8分）

所以切线方程为 即

因此，过点且与圆相切的直线方程为或. （9分）

（3）设点N的坐标为，P点的坐标为.

由于Q点的坐标为且N为PQ的中点，所以，（10分）

于是有 ① （11分）

因为在圆上运动，所以有 （12分）

将①代入上式得，即 （13分）

所以，点N的轨迹是以（，）为圆心，半径为1的圆. （14分）

考点：圆的方程，圆的切线，动点的轨迹.