Question

已知x，y，z均为正数．求证：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

．

Answer 1

分析：分别对

x

yz

+

y

zx

，

y

xz

+

z

yx

，

z

xy

+

x

yz

进行化简分析，得出与

2

z

，

2

x

，

2

y

的关系，然后三个式子左右分别相加除以2即可得到结论．

解答：证明：因为x，y，z都是为正数，
所以

x

yz

+

y

zx

=

1

z

(

y

x

+

x

y

)  ≥

2

z

   ①
同理可得

y

xz

+

z

yx

≥

2

x

                    ②

z

xy

+

x

yz

≥

2

y

                    ③

当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得：

x

yz

+

y

zx

+

z

xy

≥

1

x

+

1

y

+

1

z

点评：本题考查不等式的证明，涉及基本不等式的应用，属于中档题．