题目内容
设二次函数f（x）=x2+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x1，x2（x1＜x2）．
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）求x2-x1的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x2．
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）求x2-x1的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x2．
（本小题满分14分）
（Ⅰ）由x2+x+c=0有两个实数根x1，x2（x1＜x2）及c＞0得
可知：0＜c＜
…（2分）
（Ⅱ）依根与系数的关系，得：
…（4分）
又x2-x1＞0，所以，x2-x1=
=
，
∵0＜c＜
，∴1＞
＞0
∴0＜x2-x1＜1…（8分）
∴故x2-x1∈（0，1）
（Ⅲ）证：∵f（m）＜0且抛物线f（x）=x2+x+c的开口向上
∴x1＜m＜x2…（10分）
可知：m-x1＞0
而m+1＞m+（x2-x1）=（m-x1）+x2＞x2…（14分）
（Ⅰ）由x2+x+c=0有两个实数根x1，x2（x1＜x2）及c＞0得
|
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）依根与系数的关系，得：
|
又x2-x1＞0，所以，x2-x1=
| (x1+x2)2-4x1x2 |
| 1-4c |
∵0＜c＜
| 1 |
| 4 |
| 1-4c |
∴0＜x2-x1＜1…（8分）
∴故x2-x1∈（0，1）
（Ⅲ）证：∵f（m）＜0且抛物线f（x）=x2+x+c的开口向上
∴x1＜m＜x2…（10分）
可知：m-x1＞0
而m+1＞m+（x2-x1）=（m-x1）+x2＞x2…（14分）
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设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜
，且函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，则有（ ）
| 1 |
| a |
A、x0≤
| ||
B、x0＞
| ||
C、x0＜
| ||
D、x0≥
|