题目内容

当0＜x＜
π
2
，时 函数f（x）=
1+cos2x+32sin2x
sin2x
的最小值为
8
8
．
分析：根据二倍角公式和同角三角函数的关系，化简可得f（x）=
1
tanx
+16tanx．然后由tanx＞0，运用基本不等式可得
1
tanx
+16tanx≥8，由此即可得到当且仅当tanx=
1
4
时，函数f（x）的最小值为8．
解答：解：∵1+cos2x=2cos2x，sin2x=2sinxcosx
∴f（x）=
1+cos2x+32sin2x
sin2x
=
2cos2x+32sin2x
2sinxcosx
=
1
tanx
+16tanx
∵0＜x＜
π
2
，
∴tanx＞0，可得
1
tanx
+16tanx≥2
1
tanx
•16tanx
=8
当且仅当tanx=
1
4
时，等号成立
因此，函数f（x）=
1+cos2x+32sin2x
sin2x
的最小值为8
故答案为：8
点评：本题给出三角函数式，求当0＜x＜
π
2
时函数的最小值，着重考查了二倍角三角函数公式、同角三角函数的基本关系和基本不等式求最值等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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（2012•辽宁）设f（x）=ln（x+1）+
x+1
+ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=
3
2
x在（0，0）点相切．
（I）求a，b的值；
（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜
9x
x+6
．
在平面直角坐标系下，已知A（2，0），B（0，2），C（cos2x，sin2x），f(x)=
AB
•
AC
．
（1）求f（x）的表达式和最小正周期；
（2）当0＜x＜
π
2
时，求f（x）的值域．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数x都有f（x）≥2x；且当0＜x＜2时，总有f(x)≤
12
(x+1)2成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（-1）的取值范围．
已知f（x）是R上的周期为2的偶函数，当0＜x＜2时，f(x)=
1
2
x2+x-2lnx，设a=f(
6
5
)，b=f(
1
3
)，c=f(-
5
2
)，
则a，b，c的大小关系是
a＜c＜b
a＜c＜b
（用“＜”连接）

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