Question

已知函数f(x)=

mx3

3

+ax2+(1-b2)x，m，a，b∈R．
（Ⅰ）当m=1时，若函数f（x）是R上的增函数，求z=

3

a+b的最小值；
（Ⅱ）当a=1，b=

3

时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由m=1，我们可以求出函数f（x）及f'（x）的解析式（含参数a，b），由函数f（x）是R上的增函数，f'（x）≥0恒成立，根据二次函数恒成立的条件，可得a²+b²≤1，进而求出z=

3

a+b的最小值；
（Ⅱ）由已知中a=1，b=

3

，我们易求出函数f（x）及导函数f′（x）的解析式，分别讨论m＜0，m=0，m＞0三种情况下m的取值范围，综合讨论结果即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=mx²+2ax+（1-b²）．    
因为函数f（x）是R上的增函数，所以f'（x）≥0在R上恒成立．
则有△=4a²-4（1-b²）≤0，即a²+b²≤1．
设

a=rcosθ b=rsinθ

（θ为参数，0≤r≤1），
则z=

3

a+b=r(

3

cosθ+sinθ)=2rsin(θ+

π

3

)
当sin(θ+

π

3

)=-1，且r=1时，z=

3

a+b取得最小值-2．
（Ⅱ）当a=1，b=

3

时，f(x)=

mx3

3

+x2-2x
f'（x）=mx²+2x-2
①当m＞0时，f'（x）=mx²+2x-2是开口向上的抛物线，
显然f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使得f'（x）＞0，所以m的取值范围是（0，+∞）．
②当m=0时，显然成立．
③当m＜0时，f'（x）=mx²+2x-2是开口向下的抛物线，
要使f'（x）在（2，+∞）上存在子区间使f'（x）＞0，
应满足  

m＜0， - 1 m ≥2， f′(- 1 m )＞0，

或

m＜0 - 1 m ＜2 f′(2)＞0

解得-

1

2

＜m＜0．　　
则m的取值范围是(-

1

2

，+∞)．

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，其中（I）的关键是得到满足条件时a²+b²≤1，（II）的关键是求出f'（x）=mx²+2x-2，将问题转化为二次函数问题．