Question

6．给出下列五种说法：
（1）函数y=a^x（a＞0，a≠1）与函数y=x²得到定义域相同；
（2）函数y=x²与y=3^x的值域相同；
（3）函数y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}-1}$与y=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$均是奇函数；
（4）函数y=（x-1）²与y=2x-1在（0，+∞）上都是增函数；
（5）记函数f（x）=x-[x]（注：[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3；[-2.3]=-3），则f（x）的值域是[0，1）．
其中所有正确说法的序号是（1）（3）（5）．

Answer 1

分析 求出两函数的定义域判断（1）；求出两函数的值域判断（2）；利用奇函数的定义判断（3）；判出函数y=（x-1）²的单调性判断（4）；由新定义求出函数f（x）=x-[x]的值域判断（5）．

解答 解：（1）函数y=a^x（a＞0，a≠1）与函数y=x²的定义域都是R，相同，（1）正确；
（2）函数y=x²的值域为[0，+∞），y=3^x的值域为（0，+∞），（2）错误；
（3）$f（-x）=\frac{（1+{2}^{-x}）^{2}}{-x•{2}^{-x}}=\frac{\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{{2}^{2x}}}{-\frac{x}{{2}^{x}}}$=$-\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$=-f（x），y=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$为奇函数，
f（-x）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{{2}^{x}}-1}=\frac{1}{2}+\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{1+{2}^{x}}{2（1-{2}^{x}）}$，
-f（x）=-（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}-1}$）=$-\frac{1+{2}^{x}}{2（{2}^{x}-1）}=\frac{1+{2}^{x}}{2（1-{2}^{x}）}$，函数y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}-1}$是奇函数，（3）正确；
（4）函数y=（x-1）²在（0，1）上是减函数，（4）错误；
（5）记函数f（x）=x-[x]（注：[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3；[-2.3]=-3，则f（x）的值域是[0，1），（5）正确．
故答案为：（1）（3）（5）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数定义域和值域的求法，训练了函数奇偶性的判断，是中档题．