Question

6．求函数y=2${\;}^{{x}^{2}-5x+6}$，x∈[1，5]的值域．

Answer 1

分析 利用配方法求出指数上x²-5x+6的范围，然后结合指数函数的单调性求得原复合函数的值域．

解答 解：令t=x²-5x+6=$（x-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，
∵x∈[1，5]，∴${t}_{min}=-\frac{1}{4}，{t}_{max}=6$．
又外函数y=2^t为定义域内的增函数，
∴当t=$-\frac{1}{4}$时，原函数有最小值为${2}^{-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{\root{4}{2}}$；
当t=6时，原函数有最大值为2⁶=64．
∴函数y=2${\;}^{{x}^{2}-5x+6}$，x∈[1，5]的值域为[$\frac{1}{\root{4}{2}}，64$]．

点评 本题考查复合函数的值域的求法，考查利用配方法求二次函数的值域，是基础题．