Question

已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）若函数的定义域关于坐标原点对称，试讨论它的奇偶性和单调性；

（3）在（2）的条件下，记为的反函数，若关于的方程

有解，求的取值范围．

Answer 1

同下

解析:

（1），所以当时，定义域为；

当时，定义域为；

当时，定义域为                     ……4分

（2）函数的定义域关于坐标原点对称，当且仅当，

此时，．                                   ……6分

对于定义域D=内任意，，

，所以为奇函数；……8分

当，在内单调递减；由于为奇函数，所以在内单调递减；                                                   ……11分

（3），                            ……14分

方程即，令，得，

又，所以当时方程有解.……18分

另解：令，得，，分三种情况讨论：

①方程有两根，解得

②方程有一正一负根，，解得

③方程有一正一零根，

综上讨论，可知.