Question

以P(1,8)为中点作双曲线y²-4x²=4的一条弦AB,求直线AB的方程.

Answer 1

解法一:当过P点的直线和x轴垂直时,直线被双曲线截得的弦的中点不是P点.?

当直线AB与x轴不垂直时,设其斜率为k,则直线AB的方程为y-8=k(x-1).?

由得?

(k²-4)x²+2k(8-k)x+(8-k)²-4=0(k²-4≠0).?(*)?

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则x₁、x₂是方程(*)的两个不等实根,?

∴Δ=4k²(8-k)²-4(k²-4)［(8-k)²-4］＞0.               ①?

∵弦AB的中点是P(1,8),?

∴由中点坐标公式与韦达定理,得.         ②?

由①②得k=.?

∴直线AB的方程为y-8=(x-1),即?

x-2y+15=0.

解法二:设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),则y₁²-4x₁²=4,y₂²-4x₂²=4,?

∴(y₁+y₂)(y₁-y₂)=4(x₁+x₂)(x₁-x₂).?

∵线段AB的中点是P(1,8),?

∴x₁+x₂=2,y₁+y₂=16.?

∴16(y₁-y₂)=4×2(x₁-x₂).?

∴直线AB的斜率为.?

∴直线AB的方程为y-8=(x-1),?

即x-2y+15=0.

点评：解法一和解法二都是解决弦的中点问题的常用方法.解法一是由直线的方程与双曲线的方程联立,消去y(或x)得关于x(或y)的二次方程,运用中点坐标公式和韦达定理求得k.解法二是设出弦的端点坐标代入曲线方程得到两个等式,并把两个等式相减,结合中点公式求得斜率,这种方法习惯称作“点差法”.