Question

设F₁、F₂分别是椭圆，（a＞b＞0）的左、右焦点，P是该椭圆上一个动点，且|PF₁|+|PF₂|=8，．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求出以点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程．

Answer 1

解：（1）∵椭圆上一个动点P满足|PF₁|+|PF₂|=8，
∴2a=8，可得a=4
又∵焦距2c=，∴c=2，可得b²=a²-c²=4
因此，椭圆E的方程是：；
（2）根据题意，以M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率是存在的
设以点M（1，1）为中点的弦方程为y-1=k（x-1），与椭圆联解消去y，
得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4k²-8k-12=0，
设弦的端点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由根与系数的关系，得x₁+x₂=
∵M（1，1）为弦AB的中点，
∴（x₁+x₂）=1，可得=2，解之得k=-
因此，以点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为y-1=-（x-1），
化简整理得x+4y-5=0，即为所求直线方程．
分析：（1）根据椭圆的定义，可得2a=|PF₁|+|PF₂|=8，从而得到a=4．再根据焦距得到c=，利用平方关系算出b²的值，即可得到椭圆E的方程；
（2）设以点M（1，1）为中点的弦方程为y-1=k（x-1），与椭圆E方程消去y，得（1+4k²）x²+8k（1-k）x+4k²-8k-12=0，
再由一元二次方程根与系数的关系列式，即可解出斜率k=-，进而可以得到以点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程．
点评：本题给出椭圆E的特征，求椭圆E方程并求以M为中点的弦所在直线方程，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、椭圆与直线的位置关系等知识，属于基础题．