Question

设函数y=f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y，均有f（xy）=f（x）+f（y）恒成立．已知f（2）=1，且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求的值，试判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（2）一个各项均为正数的数列{a_n}，它的前n项和是S_n，若a₁=3，且f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1（n≥2，n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数M，使对于一切正整数n均成立？若存在，求出M的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用赋值法可求函数值，利用单调性的定义证明函数的单调性；
（2）确定数列通项与和的关系，再写一式，两式相减，即可求得数列的通项；
（3）利用分离参数法，求出函数的最值，即可求得M的范围．
解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=0；令，得（2分）
y=f（x）在（0，+∞）上单调递增．下面证明：
任取0＜x₁＜x₂，则，
∵当x＞1时，f（x）＞0，∴
在已知式中令，得，即证．（4分）
（2）当n≥2时，∵f（S_n）=f（a_n）+f（a_n+1）-1
∴f（S_n）+1=f（a_n）+f（a_n+1），即f（2S_n）=f（a_n（a_n+1））
∵y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴2S_n=a_n（a_n+1）（6分）
∴2S_n+1=a_n+1（a_n+1+1）
两式相减得：，即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=1∴数列{a_n}从第二项起，是以1为公差的等差数列…（7分）
又在2S_n=a_n（a_n+1）中令n=2可得：a₂=3
综上，．（8分）
（3）n=1时，（9分）
n≥2时，
∴
令，
则
∴{b_n}是递增数列
∴
∴（12分）
点评：本题考查抽象函数的单调性，考查数列的通项，考查恒成立问题，解题的关键是分离参数，求函数的最值．