题目内容

已知向量 $数学公式$ ，函数f（x）=a•b，（x∈R），
（Ⅰ）将函数y=2sinx的图象做怎样的变换可以得到函数f（x）的图象？
（Ⅱ）求函数f（x）区间[0， $数学公式$ ]上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若 $数学公式$ ，求cos2x₀的值．

解：（Ⅰ） f（x）=2sinxcosx+ $\text{[math]}$ cos2x=sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
将函数y=2sinx的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ ，可得到函数f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象
（或将函数y=2sinx的图象上各点保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ ，再把所得函数图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，可得到函数f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象）
（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），x∈[0， $\text{[math]}$ ]∴2x+ $\text{[math]}$ ]
所以函数f（x）在区间[0， $\text{[math]}$ ]上单调递增，在区间[ $\text{[math]}$ ]上单调递减，
当2x+ $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）有最大值2，
当2x+ $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）有最小值- $\text{[math]}$ ，
（Ⅲ） f（x₀）= $\text{[math]}$ ]，即sin（2x₀+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵2x₀+ $\text{[math]}$ ]，又sin（2x₀+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜sin $\text{[math]}$
∴2x₀+ $\text{[math]}$ ，π），∴cos（2x₀+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴cos2x₀=cos（2x₀+ $\text{[math]}$ ）=cos（2x₀+ $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ +sin（2x₀+ $\text{[math]}$ ）sin $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）按照向量数量积的坐标表示，求出f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），再根据图象变化规律得到变换的方式．
（2）将 $\text{[math]}$ 看作整体，求出范围，再利用正弦函数单调性求最值．
（3）由已知sin（2x₀+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，将2x₀转化成（2x₀+ $\text{[math]}$ ）再利用两角和与差的三角函数公式求解．
点评：本题考查向量的数量积运算，图象变换、正弦函数单调性、最值、两角和与差的三角函数．考查转化的思想、整体思想、计算能力．