题目内容

已知向量,函数f(x)=
(1)求函数y=f(x)的最小正周期以及单调递增区间;
(2)当时,f(x)有最大值4,求实数t的值.
【答案】分析:(1)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为 2sin(2x+)+t+1,由此求出它的周期,再由 2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈z,求出x的范围,即可求得函数的单调递增区间.
(2)当时,≤2x+,1≤2sin(2x+)≤2,由此求得t+2≤f(x)≤t+3,再由最大值为4,可得 t+3=4,从而求得t的值.
解答:解:(1)函数f(x)==2cos2x+t+sin2x=1=cos2x+1+t+sin2x=2sin(2x+)+t+1.
故它的最小正周期为 =π.
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈z,可得 kπ-≤x≤kπ+
故函数的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈z.
(2)当时,≤2x+,∴1≤2sin(2x+)≤2,
∴t+2≤f(x)≤t+3.
由于(x)有最大值4,故 t+3=4,t=1.
点评:本题主要考查两个向量数量积公式,三角函数的恒等变换及化简求值,复合三角函数的单调性,三角函数的周期性和求法,属于中档题.
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