Question

已知函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x）．
（1）若a=

1

2

，求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）因为函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x²+x），把a=

1

2

，得F(x)=lnx+2x-

1

2

x2-

1

2

x，然后求出其导数F′（x），最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；
（2）由题意f（x）≤g（x）恒成立，构造新函数F（x）=f（x）-g（x），然后求出F′(x)=-

(2x+1)(ax-1)

2x

，只要证F（x）的最大值小于0，就可以了．

解答：解：（Ⅰ）F(x)=lnx+2x-

1

2

x2-

1

2

x，
其定义域是（0，+∞）
F′(x)=

1

x

+2-x-

1

2

=-

(2x+1)(x-2)

2x

令F′（x）=0，得x=2，x=-

1

2

（舍去）．（3分）
当0＜x＜2时，F′（x）＞0，函数单调递增；
当x＞2时，F′（x）＜0，函数单调递减；
即函数F（x）的单调区间为（0，2），（2，+∞）．（6分）
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x），
则F′(x)=-

(2x+1)(ax-1)

x

，（8分）
当a≤0时，F′（x）≥0，F（x）单调递增，
F（x）≤0不可能恒成立，（10分）
当a＞0时，令F′（x）=0，得x=

1

a

，x=-

1

2

（舍去）．
当0＜x＜

1

a

时，F′（x）＞0，函数单调递增；
当x＞

1

a

时，F′（x）＜0，函数单调递减；（13分）
故F（x）在（0，+∞）上的最大值是F(

1

a

)，
依题意F(

1

a

)≤0恒成立，
即ln

1

a

+

1

a

-1≤0，
又g(a)=ln

1

a

+

1

a

-1单调递减，且g（1）=0，
故ln

1

a

+

1

a

-1≤0成立的充要条件是a≥1，
所以a的取值范围是[1，+∞）．
 lnx+2x≤a（x²+x）恒成立，由于x＞0，即：a≥

lnx+2x

x2+x

，即只要确定

lnx+2x

x2+x

的最大值即可．
设h（x）=

lnx+2x

x2+x

h'（x）=

x2+x 2 + 1 x -(2x+1)(lnx+2x)

(x2+x)2

=

(2x+1)(1-x-lnx)

(x2+x)2

当0＜x＜1时，h'（x）＞0即h（x）递增，当x＞1时，h'（x）＜0即h（x）递减，则h（x）的最大值是h（1）=1，从而a≥1

点评：此题主要考查函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．