题目内容
【题目】如图，在四棱柱
中，侧棱
底面
，
，
，
，
．
（1）求二面角
的正弦值；
（2）点
是线段
的中点，点
为线段
上点，若直线
与平面所成角的正弦值为
，求线段
的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）以
为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面
的法向量
，平面
的法向量
，根据公式得到两个法向量之间的夹角余弦，再求出二面角
的正弦值；（2）设
，得到
，
，根据公式，表示出
与之间的夹角余弦，即直线
和平面
所成角的正弦值，从而得到关于
的方程，求出的值，得到线段
的长.
（1）证明：如图，以为坐标原点，以
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
又因为
分别为
的中点，所以
.
，
，
，
设
是平面的法向量，
由
，得
，
取
，得
，
设
是平面的法向量，
由
，得
，
取，得
.
，
设二面角的平面角为
，
所以
，
所以二面角的正弦值为.
（2）由题意可设，其中
，∴，，
又因为
是平面的一个法向量，
所以
，
设直线和平面所成角为
，
，
整理，得
，
所以
，
解得
或
（舍）.
所以线段的长为.
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