Question

设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P满足

PA

•

PB

=4，点Q是点P关于直线y=2（x-4）的对称点．求
（Ⅰ）求点A、B的坐标；
（Ⅱ）求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）令f′（x）=0求出x的解，然后根据驻点分区间讨论函数的增减性得到函数的极值，得到A、B的坐标；
（Ⅱ）设p（m，n），Q（x，y），由

PA

•

PB

=4，得

y-n

x-m

=-

1

2

，又因为PQ的中点在y=2（x-4）上，得

y+m

2

=2(

x+n

2

-4)消去m、n即可得到动点Q的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）令f'（x）=（-x³+3x+2）'=-3x²+3=0，
解得：x=1或x=-1
当x＜-1时，f'（x）＜0，
当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，
当x＞1时，f'（x）＜0
所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，
故x₁=-1，x₂=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以，点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）．
（Ⅱ）设p（m，n），Q（x，y），
∴

PA

•

PB

=(-1-m，-n)•(1-m，4-n)=m2-1+n2-4n=4，
∴kPQ=-

1

2

，即

y-n

x-m

=-

1

2

，
又PQ的中点在y=2（x-4）上，
所以

y+m

2

=2(

x+n

2

-4)
消去m，n得（x-8）²+（y+2）²=9

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，会用平面内两个向量数量积的运算，以及会求动点的轨迹方程的能力．