题目内容
已知椭圆
的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点D坐标为（4，0），椭圆C上动点Q关于x轴的对称点为点P，直线PD交椭圆C于点R（异于点P），求证：直线QR过定点．
【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆
的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4，可求几何量，从而求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）先猜想定点坐标为A（1，0），再设Q（m，n），则P（m，-n），证明直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上，从而得证．
解答：（Ⅰ）解：∵椭圆
的长轴长是焦距的2倍
∴2a=2（2c），∴a=2c
∵右准线方程为x=4，∴
，∴a2=4c
∴4c2=4c，∴c=1，∴a=2，∴b=
所以椭圆C的方程为：
；
（Ⅱ）证明：不妨取Q（0，
），则P（0，-
）
∴直线PD的方程为
，即
代入椭圆方程可得：5x2-8x=0
∴x=0，或x=
∴R（
，-
）
∴直线QR的方程为
令y=0，可得x=1，故猜想定点坐标为A（1，0）
设Q（m，n），则P（m，-n），∴直线PD的方程为：
①
直线QA的方程为
②
联立①②可得
，解得
代入椭圆方程的左边可得
+
∵Q（m，n）在椭圆上，∴
，∴
∴
+
=
+
=
=1
即直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上
故直线QR过定点（1，0）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，利用先猜后证的方法，解题的关键是确定定点的坐标，属于中档题．
的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4，可求几何量，从而求出椭圆C的方程；（Ⅱ）先猜想定点坐标为A（1，0），再设Q（m，n），则P（m，-n），证明直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上，从而得证．
解答：（Ⅰ）解：∵椭圆
的长轴长是焦距的2倍∴2a=2（2c），∴a=2c
∵右准线方程为x=4，∴
，∴a2=4c∴4c2=4c，∴c=1，∴a=2，∴b=
所以椭圆C的方程为：
；（Ⅱ）证明：不妨取Q（0，
），则P（0，-）∴直线PD的方程为
，即代入椭圆方程可得：5x2-8x=0
∴x=0，或x=
∴R（
，-）∴直线QR的方程为
令y=0，可得x=1，故猜想定点坐标为A（1，0）
设Q（m，n），则P（m，-n），∴直线PD的方程为：
①直线QA的方程为
②联立①②可得
，解得代入椭圆方程的左边可得
+∵Q（m，n）在椭圆上，∴
，∴∴
+=+==1即直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上
故直线QR过定点（1，0）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线恒过定点，利用先猜后证的方法，解题的关键是确定定点的坐标，属于中档题．
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，且经过点
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