Question

函数f(x)=(sinx+

3

cosx)sinx-

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到的y=g（x）的图象．若y=g（x）（x＞0）的图象与直线y=-

3

2

交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，…，求数列{x_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据二倍角公式以及两角和的正弦公式对所给函数进行整理，再结合正弦函数的单调性以及整体代入思想即可求出f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）先根据图象的平移规律得到函数y=g（x）（x＞0）的图象；再结合正弦曲线的对称性，周期性求出相邻两项的和及其规律，最后结合等差数列的求和公式即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）函数f(x)=(sinx+

3

cosx)sinx-

1

2

=sin（2x-

π

6

）
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，可得

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递减区间为[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）y=f（x）的图象向左平移

π

3

个单位，得到y=sin2x，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数y=sinx的图象，即g（x）=sinx，
若函数g（x）=sinx（x＞0）的图象与直线y=-

3

2

交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，
则由正弦曲线的对称性，周期性得：

x1+x2

2

=

3π

2

，

x3+x4

2

=2π+

3π

2

，…，

x2n-1+x2n

2

=2（n-1）π+

3π

2

，
所以x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=（x₁+x₂）+（x₃+x₄）+…+（x_2n-1+x_2n）=3π+7π+11π+…+（4n-1）π=（2n²+n）π

点评：本题是对三角函数单调性，对称性，周期性以及公式的综合考查，解决问题的关键在于根据二倍角公式以及两角和的正弦公式对所给函数进行整理，属于中档题．