题目内容
已知函数f(x)=
，在下列给出结论中：
①π是f（x）的一个周期；
②f（x）的图象关于直线x=
对称；
③f（x）在(-
，0)上单调递减．
其中，正确结论的个数为（ ）
| sinx+cosx |
| sinxcosx |
①π是f（x）的一个周期；
②f（x）的图象关于直线x=
| π |
| 4 |
③f（x）在(-
| π |
| 2 |
其中，正确结论的个数为（ ）
分析：①将x换为x+π，计算得到结果看与f（x）相等与否即可做出判断；
②验证f（x）是否等于f（
-x），即可做出判断；
③设t=sinx+cosx，可得sinxcosx=
，由x的范围求出t的范围，得出函数增减性，判断即可．
②验证f（x）是否等于f（
| π |
| 2 |
③设t=sinx+cosx，可得sinxcosx=
| t2-1 |
| 2 |
解答：解：①f（x+π）=
=-
≠f（x），π不是f（x）的一个周期，本选项错误；
②∵f（
-x）=
=
=f（x），∴f（x）图象关于直线x=
对称，本选项正确，
③设t=sinx+cosx=
sin（x+
），可得sinxcosx=
，
∴f（x）=
，
∵-
＜x＜0，
∴-
＜x+
＜
，即-1＜t＜1，
在（-1，1）上任取两实数x1，x2，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
-
=
，
因为-1＜x1＜x2＜1，所以-1＜x1•x2＜1，x1•x2+1＞0，
x2-x1＞0，x1+1＞0，x1-1＜0，x2+1＞0，x2-1＜0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以
在（-1，1）上单调递减，本选项正确，
则正确结论的个数为2个，
故选C
| sin(π+x)+cos(π+x) |
| sin(π+x)cos(π+x) |
| sinx+cosx |
| sinxcosx |
②∵f（
| π |
| 2 |
sin(
| ||||
sin(
|
| cosx+sinx |
| cosxsinx |
| π |
| 4 |
③设t=sinx+cosx=
| 2 |
| π |
| 4 |
| t2-1 |
| 2 |
∴f（x）=
| 2t |
| t2-1 |
∵-
| π |
| 2 |
∴-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
在（-1，1）上任取两实数x1，x2，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=
| 2x1 |
| x12-1 |
| 2x2 |
| x22-1 |
| 2(x1x2+1)(x2-x1) |
| (x1+1)(x1-1)(x2+1)(x2-1) |
因为-1＜x1＜x2＜1，所以-1＜x1•x2＜1，x1•x2+1＞0，
x2-x1＞0，x1+1＞0，x1-1＜0，x2+1＞0，x2-1＜0，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以
| 2t |
| t2-1 |
则正确结论的个数为2个，
故选C
点评：此题考查了三角函数的化简求值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
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