Question

甲、乙 两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60km/h，已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x（km/h）的平方成正比例，比例系数为，固定部分为60元．
（Ⅰ）将全程的运输成本y（元）表示为速度x（km/h）的函数，并指出函数的定义域；
（Ⅱ）判断此函数的单调性，并求当速度为多少时，全程的运输成本最小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出汽车全程行驶时间，汽车每小时的全部运输成本，即可得到函数解析式，并确定函数的定义域；
（Ⅱ）利用单调性的定义，可得函数在（0，60]上是减函数，从而可求函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）由题意，汽车全程行驶时间为小时；汽车每小时的运输成本的可变部分为元；汽车每小时的全部运输成本为（）元；
所以，所求的函数为，即（0＜x≤60）．
（Ⅱ）设x₁，x₂是（0，60]上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则
=（x₁-x₂）（）
∵0＜x₁＜x₂≤60，∴x₁-x₂＜0，＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，函数在（0，60]上是减函数．
因此，当x=60时，．
故当速度为60km/h时，全程的运输成本最小，最小成本为200元．
点评：本题考查函数模型的确立，考查函数单调性的判断，考查函数的最值，确定函数解析式是关键．