Question

已知函数f(x)=alnx+

1

x

．
（1）当a＞0时，求该函数的单调区间和极值；
（2）当a＞0时，若对?x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）找其导函数，让其大于0，找增区间，小于0找减区间，再找极值即可．
（2）原不等式转化为求函数f（x）的最小值，而有（1）知，函数f（x）的极小值即为最小值，所以问题解决．

解答：解：（1）令f/(x)=

a

x

-

1

x2

＞0?x＞

1

a

?函数f（x）的单调增区间是(

1

a

，+∞)；
令f/(x)=

a

x

-

1

x2

＜0?x＜

1

a

?函数f（x）的单调减区间是(0，

1

a

)，且当x=

1

a

时，函数有极小值且极小值为f(

1

a

)=a(1-lna)；
（2）当a＞0时，若对?x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，即?x＞0，2a≤alnx+

1

x

成立，则必须?x＞0，2a≤f（x）_min．
而由（1）知，函数f（x）的极小值即为最小值，
于是：2a≤f（x）_min=a（1-lna），解之得：0＜a≤

1

e

．

点评：本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．