题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）当a为何值时，f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）为R上的增函数．

（1）解：由f（0）=0，得a=1，则f（x）= $\text{[math]}$ ．
函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又f（-x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ =-f（x）．
所以a=1时，f（x）为奇函数．
（2）证明：函数可化为 $\text{[math]}$ ，定义域为R．
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（a- $\text{[math]}$ ）-（a- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
因为x₁＜x₂，所以 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＜0， $\text{[math]}$ +1＞0， $\text{[math]}$ +1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）为R上的增函数．
分析：（1）先由f（0）=0，得a=1，然后求出f（x）定义域为R，关于原点对称，再证明f（-x）=-f（x）即可；
（2）化函数为 $\text{[math]}$ ，再由函数单调性的定义证明．
点评：本题考查函数奇偶性的判断及函数单调性的证明，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．

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