Question

16．已知命题p：集合 A={x|x²+（m+2）x+1=0，x∈R}，集合 B=（0，+∞），且 A∩B≠∅；命题q：方程x²-mx+1=0有两个不相等的实数根．
（1）求命题p成立时的集合 P以及命题q成立时的集合Q；
（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p正确：集合 A={x|x²+（m+2）x+1=0，x∈R}，集合 B=（0，+∞），且 A∩B≠∅；由x₁x₂=1＞0，可得$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{-\frac{m+2}{2}＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1＞0}\end{array}\right.$，
解得m可得：集合 P．若命题q正确：方程x²-mx+1=0有两个不相等的实数根，可得：△＞0，解得m可得集合Q．
（2）“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可得p与q必然一真一假．解出即可．

解答 解：（1）若命题p正确：集合 A={x|x²+（m+2）x+1=0，x∈R}，集合 B=（0，+∞），且 A∩B≠∅；
△=（m+2）²-4=m（m+4）．∵x₁x₂=1＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=0}\\{-\frac{m+2}{2}＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}＞0}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1＞0}\end{array}\right.$，
解得m=-4，或m＜-4，可得：集合 P=（-∞，-4]．
若命题q正确：方程x²-mx+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=m²-4＞0，解得m＞2或m＜-2．
∴集合Q=（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（2）∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤-4}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＞-4}\\{m＜-2或m＞2}\end{array}\right.$，
解得m∈∅，或-4＜m＜-2或m＞2．
∴实数m的取值范围是-4＜m＜-2或m＞2．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、一元二次方程的解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．