Question

命题p：m≤t≤n，其中m，n分别是函数

x2+2x  x∈[-2，0) x          x∈[0，1]

的最小值和最大值，命题q：（t-1）²≥|z₁-z₂|，其中z₁，z₂∈C，z₁，z₂满足条件|z1|=|z2|=

2

，|z1+z2|=2．若命题“p且q”为真，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：命题p：根据函数

x2+2x x∈[-2，0) x x∈[0，1]

，求得该函数的最大值和最小值，求得t的范围；命题q：根据条件|z₁|=|z₂|=

2

，|z₁+z₂|=2求得|z₁-z₂|，解不等式（t-1）²≥|z₁-z₂|，求得实数t的取值范围，而命题“p且q”为真，求交集即可．

解答：解：m，n分别是函数

x2+2x x∈[-2，0) x x∈[0，1]

的最小值和最大值，
∴m=-1，n=1，∴-1≤t≤1；
又∵|z1|=|z2|=

2

，|z1+z2|=2，
∴|z₁-z₂|=2，（根据复数的加法满足平行四边形法则）
由(t-1)2≥|z1-z2|?(t-1)2≥2?t≥1+

2

或t≤1-

2

，
∵命题“p且q”为真，∴命题p、命题q均为真，
∴

-1≤t≤1 t≥1+ 2 或t≤1- 2

?-1≤t≤1-

2

点评：考查复合命题的真假，和分段函数的最值问题（分段求得，再求最大的作为函数的最大值，最小的作为函数的最小值），以及复数的加法的几何意义，属基础题．