Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD=PD=2MA。

（1）求证：平面EFG⊥平面PDC；
（2）求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比。

Answer 1

解：（1）证明：由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
所以PD⊥平面ABCD
又BC平面ABCD，
所以PD⊥BC
因为四边形ABCD为正方形，
所以BC⊥DC
又PD∩DC=D，
因此BC⊥平面PDC
在△PBC中，因为C，F分别为PB，PC的中点，
所以GF∥BC，
因此GF⊥平面PDC
又GF平面EFG，
所以平面EFC⊥平面PDC。
（2）因为PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，
不妨设MA=1，则PD=AD=2
所以S_{正方形ABCD}·PD=
由于DA⊥面MAB，且PD∥MA，
所以DA即为点P到平面MAB的距离，
三棱锥V_P-MAB=
所以V_P-MAB：V_P-ABCD=1：4。