Question

设坐标原点为O，抛物线y²=4x与过点（m，0）的直线交于A、B两点，若

OA

•

OB

=-3，则m的值为

1或3

．

Answer 1

分析：根据题意设直线的方程为：x=ty+m，并且设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），即可得到

OA

•

OB

=（1+t²）y₁•y₂+tm（y₁+y₂）+m²=-3，再联立直线与抛物线的方程得到共有y的一元二次方程，进而结合根与系数的关系求出m的数值．

解答：解：因为直线与抛物线y²=4x交于A、B两点，
所以直线的斜率不等于0，
所以设直线的方程为：x=ty+m，
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂ ），
所以

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂ ），
所以

OA

•

OB

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂ ）=x₁•x₂+y₁•y₂=（1+t²）y₁•y₂+tm（y₁+y₂）+m²=-3，①
联立直线与抛物线的方程

y2=4x x=ty+m

，
代入整理可得：y²-4ty-4m=0，
所以△=16（t²+m）＞0，y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4m，
所以代入①可得：m²-4m+3=0，
解得：m=1或者m=3，代入△可得符合题意．
故答案为：1或3．

点评：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，并且借助于向量的数量积公式考查直线与抛物线的相交问题，解决此类问题的关键是求出y₁+y₂ 和y₁•y₂的值
（x₁+x₂ 和x₁•x₂的值），此题属于中档题，只要细心计算即可得到全分，此题考查学生分析问题与解决问题的能力．