Question

设函数f(x)是定义在［-1,0)∪(0,1］上的偶函数,当x∈［-1,0)时,f(x)=x³-ax(a∈R).

(1)当x∈(0,1］时,求f(x)的解析式;

(2)若a＞3,试判断f(x)在(0,1］上的单调性,并证明你的结论;

(3)是否存在a,使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1.

Answer 1

思路分析:关于存在性的问题,处理的方法可以是先假设存在,再寻找所得的结论.

解:(1)∵x∈(0,1］时,-x∈［-1,0),

∴f(-x)=(-x)³-a(-x)=ax-x³.又f(x)为偶函数,

∴f(-x)=f(x),即f(x)=ax-x³.

(2)f′(x)=-3x²+a,∵x∈(0,1］,∴x²∈(0,1］.

∴-3x²≥-3.∵a＞3,∴-3x²+a＞0.

故f(x)在(0,1］上为增函数.

(3)假设存在a,使得当x∈(0,1］时,f(x)有最大值1.

又由(2)可知,f′(x)=-3x²+a.

令f′(x)=0,-3x²+a=0,即a＞0时,x=.

又∵x∈(0,1］,

∴x=且＜1.

∴f′(x)在(0,)上大于0;在(,1)上小于0.

∴f(x)_极大值=f()==1.

∴a=时,f(x)有最大值1.