题目内容

已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则 $数学公式$ 的值是________．

0
分析：从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得．
解答：∵xf（x+1）=（x+1）f（x）
令x=- $\text{[math]}$ 可得，- $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ f（- $\text{[math]}$ ）即f（- $\text{[math]}$ ）=-f（ $\text{[math]}$ ）
∵f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，
∴f（- $\text{[math]}$ ）=-f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ ）
∴f（ $\text{[math]}$ ）=0
又∵f（x+1）= $\text{[math]}$
∴f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =7f（ $\text{[math]}$ ）=0
故答案为：0
点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．

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，
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，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是f（x）图象上的两点，且x₁+x₂=1．
（1）求证：y₁+y₂为定值；
（2）若S_n=f（

）（n∈N^*，N≥2），求S_n；
（3）在（2）的条件下，若a_n=

4(Sn+1)(Sn+1+1)

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