Question

（本小题满分12分）
（注意：在试题卷上作答无效）
设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数．证明：．

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析。
（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）证明见解析。

（Ⅰ），上为增函数
（Ⅱ）当时，,又由（Ⅰ）及时，,因此当时,              ①
下面运用数学归纳法可以证明                        ②
（ⅰ）由，，应用式①得当，即得当时，不等式②成立.
（ⅱ）假设当时，不等式②成立，即，则由①可得，即，故当时，不等式②成立
综合（ⅰ）（ⅱ）证得，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，逐项递增，故若存在正整数，使得，则，否则若，则由知， ③由③知
于是