Question

设函数f(x)=-a

x2+1

+x+a，x∈(0，1]，其中a＞0．
（1）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（2）求f（x）在（0，1]上的最大值．

Answer 1

（1）当x∈（0，1]时，f'（x）=-a•

x

x2+1

+1，∵f'（x）在（0，1]上是增函数，∴f'（x）≥0在（0，1]上恒成立．即a≤

x2+1

x

=

1+ 1 x2

在(0，1]上恒立，而0＜x≤1时，

1+ 1 x2

≥

2

，∴0＜a≤

2

．
（2）由（1）知
①当0＜a≤

2

时，f(x)在(0，1]上是增函数，∴[f（x）]_max=f（1）=（-

2

-1）a+1
②当a＞

2

时，令f′(x)=0，x=

1 a2-1

∈(0，1]，∴0＜x＜

1 a2-1

时f'（x）＞0

1 a2-1

＜x≤1时f'（x）＜0，∴[f（x）]_max=f（

1 a2-1

)=a-

a2-1

综上知，当0＜a≤

2

时，[f(x)]max=-(

2

-1）a+1；当a＞

2

时，[f(x)]max=a-

a2-1