Question

【题目】已知函数，其中为常数.　

（1）判断函数的单调性并证明；

（2）当时，对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）根据函数单调性的定义证明即可（2）当时， ，则 ，∴函数是奇函数，对于任意，不等式恒成立，等价为对于任意，不等式恒成立，即，在恒成立，即，在恒成立，设，则等价为即可.讨论轴与区间的位置关系求最小值即得解.

试题解析：

（1）函数在上是增函数.

证明如下：

任取， ，且，

则，

∵，∴， ， ，∴，

∴，∴函数在上是增函数.

（2）由（1）知函数在定义域上是增函数，当时， ，则 ，

∴函数是奇函数，

则对于任意，不等式恒成立，

等价为对于任意，不等式恒成立，

即，在恒成立

即，在恒成立，

设，则等价为即可.

即，

当，则函数的最小值为，得，不成立，

当，则函数的最小值为，得，

当，则函数的最小值为，得.

综上.