Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

(1)求A₁B与平面ABD所成角的余弦值；

(2)求点A₁到平面AED的距离.

Answer 1

解：(1)连结BG, 则BG是BE在面ABD的射影, 即∠A₁BG是A₁B与平面ABD所成的角.

建立坐标系, 坐标原点为C.以CA 为x轴,CB为y轴,CC₁为z轴,设CA=2a, 则A(2a, 0, 0), B(0, 2a, 0), D(0, 0, 1), ?A₁(2a, 0, 2), E(a, a, 1), G(,,).

∴,.

∴, 解得a=1.

∴,.

∴.

(2)由(1)有A(2, 0, 0), A₁(2, 0, 2), E(1, 1, 1), D(0, 0, 1),

=(-1, 1, 1)(-1, -1, 0)=0,

=(0, 0, 2)(-1, -1, 0)=0.

∴ED⊥平面AA₁E.又ED 平面AED, ∴平面AED⊥平面AA₁E.

又面AED∩面AA₁E=AE,

∴点A₁在平面AED的射影K在AE上.

设,则.

由, 即λ+λ+λ-2=0,

解得.

∴.

∴.

故A₁到平面AED的距离为.