Question

已知（1+

1

2

x）ⁿ展开式的各项依次记为a₁（x），a₂（x），a₃（x）…a_n（x），a_n+1（x）．设F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+2a₂（x）+3a₃（x）…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（1）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（2）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）-1．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 a_k（x）=

C

k-1 n

•(

1

2

x)k-1，求得a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数，根据前三项的系数成等差数列求得n的值．
（2）由F（x）的解析式求得 F（2）═

C

0 n

+2

C

1 n

+3

C

2 n

+…+（n+1）

C

n n

，设S_n=

C

0 n

+2

C

1 n

+3

C

2 n

+…+（n+1）

C

n n

，利用二项式系数的性质求得S_n=（n+2）•2^n-2．再利用导数可得F（x）在[0，2]上是增函数可得对任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤F（2）-F（0）=2^n-1（n+2）-1．

解答：解：（1）由题意可得 a_k（x）=

C

k-1 n

•(

1

2

x)k-1，k=1、2、3，…n+1，
故a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次为

C

0 n

=1，

C

1 n

•

1

2

=

n

2

，

C

2 n

(

1

2

)2=

n(n-1)

8

．
再由2×

n

2

=1+

n(n-1)

8

，解得 n=8．
（2）∵F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+2a₂（x）+3a₃（x）…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）
=

C

0 n

+2

C

1 n

•（

1

2

x）+3

C

2 n

•(

1

2

x)2+（n+1）

C

n n

•(

1

2

x)n，
∴F（2）=

C

0 n

+2

C

1 n

+3

C

2 n

+…+（n+1）

C

n n

．
设S_n=

C

0 n

+2

C

1 n

+3

C

2 n

+…+（n+1）

C

n n

，则有S_n=（n+1）

C

n n

+n

C

n-1 n

+…+3

C

2 n

+2

C

1 n

+

C

0 n

．
把以上2个式子相加，并利用

C

k n

=

C

n-k n

 可得 2S_n=（n+2）[

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

]=（n+2）•2^n-1，
∴S_n=（n+2）•2^n-2．
当x∈[0，2]时，由于F′（x）＞0，∴F（x）在[0，2]上是增函数，故对任意x₁，x₂∈[0，2]，
恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤F（2）-F（0）=2^n-1（n+2）-1，命题得证．

点评：本题主要考查等差数列的性质，二项式定理的应用，二项式系数的性质，利用导数研究函数的单调性，根据函数的
单调性求函数的值域，属于中档题．