Question

设函数f（x）=x•sin x且f（α）-f（β）＞0，α，β∈[]，则下列不等式必定成立的是（ ）
A．α＞β
B．α＜β
C．α+β＞0
D．α²＞β²

Answer 1

【答案】分析：根据题意先求出f′（x），进而判断出函数在递增，再结合函数是偶函数和条件得到f（|α|）＞f（|β|），再由α和β的范围求出|α|、|β|的范围，根据增函数的定义得到自变量|α|、|β|的大小关系，结合答案项进行选择．
解答：解：由题意得，f′（x）=sin x+xcosx，当x时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在上递增，
由f（α）-f（β）＞0得，f（α）＞f（β），
又∵f（-x）=-x•sin（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数，即f（|α|）＞f（|β|），
∵α、β∈[]，∴|α|、|β|∈，
∴|α|＞|β|，故α²＞β²．
故选D．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数奇偶性对应的关系式将自变量转化到已知范围内，以及增函数定义的逆用，体现了转化思想．