Question

【题目】设是定义在R上的函数,对任意的,恒有，且当时, .

(1)求的值;

(2)求证:对任意,恒有.

(3)求证:在R上是减函数.

Answer 1

【答案】（1）;

（2）证明见解析；

（3）证明见解析；

【解析】

(1)应用取特殊值法.令,根据当时,,可以求出的值;

(2)当时,应用,再根据当时,,可以证明此时

,再结合(1)的结论,可以证明对任意,恒有.

(3)运用定义法证明在R上是减函数.在证明过程中结合(2)中的结论,和已知当时,,这一条件.

(1) 令,有,当时,,所以有,于是有

；

(2)当时,有,因为,所以,已知当时,,所以,由(1)可知,所以有；

已知当时,；

由(1)可知,故对任意,恒有；

(3)设且,所以有,而已知当时,,因此有

,而,由(2)的证明过程可知：,

于是由可得,所以有,根据(2)的性质可知：,所以有,因此在R上是减函数.