Question

求满足下列条件的抛物线的标准方程：

（1）过点（-3，2）；

（2）焦点在直线x-2y-4=0上.

Answer 1

分析：要求抛物线的标准方程，需根据条件确定其类型，设出方程的形式，然后求出参数p.

解：（1）当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线方程为y²=-2px(p＞0).

由抛物线过(-3,2)知，2²=-2p×(-3),p=.

所以所求的抛物线方程为y²=x.

当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线方程为x²=2py(p＞0).

由抛物线过（-3，2）知，（-3）²=4p,p=.

所以所求的抛物线方程为x²=y.

(2)直线x-2y-4=0与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-2），故抛物线的焦点为（4，0）或（0，-2）.

当焦点为（4，0）时，设抛物线方程为y²=2px(p＞0),=4,p=8.

所以抛物线方程为y²=16x.

当焦点为（0，-2）时，设抛物线方程为x²=-2py(p＞0),-=-2,p=4.

所以抛物线方程为x²=-8y.

点拨：在求抛物线标准方程时，焦点的位置不易确定，可作出草图，结合图形，设出方程，利用待定系数法分情况求解.在（2）中，根据抛物线标准方程的要求，可知直线x-2y-4=0与坐标轴的交点一定是抛物线的焦点，依此便求出焦点坐标，进而分类求解.