Question

（2012•安徽模拟）已知函数f（x）=alnx+x（a为实常数）
（1）若a=-1，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若直线y=2x-1是曲线y=f（x）的切线，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把a=-1代入函数f（x）=alnx+x，然后对其进行求导，利用导数研究函数f（x）的单调递减区间；
（2）已知直线y=2x-1是曲线y=f（x）的切线，根据导数与直线斜率的关系可得切点坐标，从而求出a值；

解答：解：（1）当a=-1代入可得f（x）=alnx+x=-lnx+x，（x＞0）
∴f′（x）=-

1

x

+1=

x-1

x

，
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递减区间为：[0，1]；
（2）设切点为（x₀，2x₀-1），f′（x）=1+

a

x

，
直线y=2x-1是曲线y=f（x）的切线，
∴1+

a

x0

=2，
∴x₀=a，
又2x₀-1=alnx₀+x₀，可得alna-a+1=0，
设y=xlnx-x+1得y′=lnx，
当x＞1时，y′＞0，
y=xlnx-x+1单调递增，
∴0＜x＜1时，y′＜0，y为单调递减，
y=xlnx-x+1有唯一的零点x=1，
得a=1；

点评：此题主要考查利用导数研究切线的方程，以及单调区间，是一道基础题，比较简单；