Question

【题目】已知圆心在轴上的圆与直线切于点.

（1）求圆的标准方程；

（2）已知，经过原点，且斜率为正数的直线与圆交于两点.

（ⅰ）求证： 为定值；

（ⅱ）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析， .

【解析】试题分析：（1）由题意设，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，解得，再由两点的距离公式可得半径，进而得到所求圆的标准方程；（2）（i）设直线的方程为，联立圆的方程，可得的二次方程，运用韦达定理，即可证得为定值；(ii)由两点的距离公式，以及韦达定理和基本不等式，化简整理，即可得到所求最大值.

试题解析：（1）设圆心的坐标为，则，又，

由题意可知， ，则，

故，所以，即半径. 故圆的标准方程为.

（2）设直线的方程为，

由 得： ，

所以， .

（ⅰ）为定值，

（ⅱ）

（当且仅当，即时等号成立）故的最大值为.