Question

【题目】已知椭圆C:的长轴长为4,离心率为,点P在椭圆C上.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点M (4,0),点N(0,n),若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点,求n的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) .

【解析】

（1）根据长轴长和离心率求出标准方程；

（2）取PN的中点为Q，以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，所以MQ⊥NP,根据垂直关系建立等量关系，结合点P的坐标取值范围，即可得解.

解:( 1)由椭圆的长轴长2a=4,得a=2

又离心率,所以

所以.

所以椭圆C的方程为：.

(2)法一:设点,则

所以PN的中点

,，

因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点

所以MQ⊥NP,则，

即，

又因为,所以，

所以，

函数的值域为

所以

所以.

法二:设点,则.

设PN的中点为Q

因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点

所以MQ是线段PN的垂直平分线，

所以

即

所以，

函数的值域为

所以，

所以.