Question

【题目】已知椭圆:的上顶点为，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是曲线上的动点，关于轴的对称点为，点，直线与曲线的另一个交点为(与不重合)，过作直线，垂足为，是否存在定点，使为定值？若存在求出的坐标，不存在说明理由？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在定点，使为定值.

【解析】

（1）由已知得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆C的标准方程；（2）设直线方程为：，设,，先求出直线方程为：,再求得直线与轴的交点为定点，又，取的中点，则，为定值.即得解.

解:（1），， ，

椭圆方程为

（2）设直线方程为：，设,则

由消去得，

∴，

∴ ，,

的中点坐标为，直线的斜率

所以直线方程为：,

即,

令，得,

=;

∵，，

所以， ==,

==

∴==

即直线与轴的交点为定点，又，取的中点，

则，为定值.

所以存在定点，使为定值.