Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设，使f（x₁）≤g（x₂），求实数b取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，知f（x）的定义域为（0，+∞），=，由此能推导出函数f（x）的单调性．
（2）当a=-时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=，欲使f（x₁）≤g（x₂）恒成立，只需g（x）_max≥f（x）_max=，由此能求出实数b取值范围．
解答：解：（1）∵函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），=，
当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a≤-1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当-1＜a＜0时，由f′（x）=0，得，
∵x＞0，∴x=，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，
当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上单调递减．
（2）当a=-时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=，
欲使符合条件的f（x₁）≤g（x₂）成立，
只需存在g（x）_max≥f（x）_max=即可，
∴存在x∈[1，2]使得不等式-x²+2bx+3≥成立，
则由2bx，得到2b，
∵x-在[1，2]上有最小值-，
因此2b，故b．
点评：本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．