题目内容
【题目】已知：在四棱锥
中，
，
，
是
的中点，
是等边三角形，平面
平面
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）分别证明
和
即可得出
平面
；
（Ⅱ）以
为空间坐标原点，分别以
，
，
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
.分别求出平面
、平面
的法向量
、
，利用
得出二面角
的余弦值。
解：（Ⅰ）取
的中点为，连结
，
，
，设交
于
，连结
.
，
四边形
与四边形
均为菱形
，
为等边三角形，为中点
平面
平面
且平面
平面
.
平面
且
平面
平面
，
分别为， 
的中点 
又
平面
平面
（Ⅱ）取
的中点为
，以为空间坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
设
，则
，
，
，
，
.
,
.
设平面的一法向量
.
由
.令
，则
.
由（Ⅰ）可知，平面的一个法向量
.
二面角的平面角
的余弦值
.
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