Question

已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）．
（1）当a=-

1

4

时，求函数f（x）的单调区间；
（2）任意x∈[0，+∞），f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的导数，再令导数大于0求出单调增区间，导数小于0求出函数的减区间，再由极值的定义判断出极值即可；
（2）若对于任意x∈[0，+∞），f（x）≤x恒成立，则必有x≥0时，ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，即要求函数g（x）=ax²+ln（x+1）-x（x≥0）的最大值小于等于0即可．

解答：解：（1）a=-

1

4

时，f′(x)=

-(x+2)(x-1)

2(x+1)

，
∵x＞-1，∴f'（x）＞0时-1＜x＜1；f'（x）＜0时x＞1，
故函数f（x）在区间（-1，1）递增，在区间（1，+∞）递减
（2）由已知得x≥0时，ax²+ln（x+1）≤x恒成立，即x≥0时，ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立．
设g（x）=ax²+ln（x+1）-x，g′(x)=x•

2ax+2a-1

x+1

，
①a≤0时，∵x≥0，∴g'（x）≤0，g（x）在区间[0，+∞）递减，∴x≥0时，g（x）≤g（0）=0，故a≤0；
②a＞0时，若g'（x）＞0，则x＞

1

2a

-1，函数g（x）在区间(

1

2a

-1，+∞)递增，
若

1

2a

-1≤0，即a≥

1

2

时，g（x）在[0，+∞）递增，则g（x）≥g（0）=0，矛盾，故舍去；
若

1

2a

-1＞0，即0＜a＜

1

2

时，g（x）在(0，

1

2a

-1)递减，在(

1

2a

-1，+∞)递增，且x→+∞时ax²-x+ln（x+1）→+∞，矛盾，故舍去．
综上，若对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x恒成立，实数a的取值范围为a≤0．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．