题目内容

已知函数 $数学公式$ ，
（1）求函数f（x）的周期；
（2）求函数f（x）单调增区间；
（3）求函数f（x）在x∈[0， $数学公式$ ]的值域．

解：（1）函数 $\text{[math]}$ =cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x=2（ $\text{[math]}$ cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x）=2sin（ $\text{[math]}$ +2x），∴周期T= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =π．
（2）由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2x≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，
故函数f（x）单调增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]．
（3）∵0≤x≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2x≤ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ≤sin（ $\text{[math]}$ +2x）≤1，
∴-1≤2sin（ $\text{[math]}$ +2x）≤2，故函数f（x）在x∈[0， $\text{[math]}$ ]的值域为[-1，2]．
分析：（1）利用三角公式化简函数f（x）的解析式为2sin（ $\text{[math]}$ +2x），由周期T= $\text{[math]}$ 求出周期．
（2）由 2kπ- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2x≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得x的范围即可得到函数f（x）单调增区间．
（3）由 0≤x≤ $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2x≤ $\text{[math]}$ ，故有- $\text{[math]}$ ≤sin（ $\text{[math]}$ +2x）≤1，从而得到函数f（x）在x∈[0， $\text{[math]}$ ]的值域．
点评：本题考查正弦函数的定义域、值域、单调性，两角和的正弦公式及二倍角公式的应用，利用单调性求sin（ $\text{[math]}$ +2x）的值域是解题的难点．